题目

题型：北京期中题难度：来源：

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m﹣2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）由已知得，
∴
又f（0）=﹣2
∴
∴m=﹣1，
∴f（x）=ln（x+1）﹣2．
（2）由（1）得
定义域为（﹣1，+∞），
∴．
∵a≠0
令g"（x）=0得
①当a＞0时，
且在区间上g′（x）＞0，在区上g′（x）＜0．∴处取得极小值，也是最小值．
∴
由a+a（﹣lna﹣2）＞0得．∴．
②当a＜0时，
在区间（﹣1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是．