题目

题型：山东省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=﹣．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）令g（x）=ln（x+1）+3﹣f′（x），若g（x）在（﹣）上单调递增，求实数a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=﹣，f′（x）=﹣（2x﹣3）（x+1）
令f′（x）＞0，可得﹣1＜x＜；
令f′（x）＜0，可得x＜﹣1或x＞
∴函数的单调增区间为（﹣1，）；单调减区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞）
∴x=﹣1时，函数取得极小值为，x=时，函数取得极大值为
∵f（﹣2）=，f（2）=
∴函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值为、最小值为；
（Ⅱ）g（x）=ln（x+1）+3﹣f′（x）=ln（x+1）+2x²﹣4ax，
g′（x）=在（﹣）上恒有x+1＞0
考查h（x）=4x²+4（1﹣a）x+1﹣4a的对称轴为
（i）当，即a≥0时，应有△=16（1﹣a）²﹣16（1﹣4a）≤0解得：﹣2＜a≤0，
所以a=0时成立
（ii）当，即a＜0时，应有h（）＞0，即：1﹣4（1﹣a）×+1﹣4a＞0，
解得a＜0
综上：实数a的取值范围是a≤0