题目

题型：山西省模拟题难度：来源：

某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（7≤x≤10）时，一年的产量为（11﹣x）²万件．但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a（1≤a≤3）．若该企业所生产的产品全部销售．
（1）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；
（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

答案

解：（1）依题意，利润函数L（x）=一件产品的利润×一年的产量﹣污染治理费用，
代入数据得：
利润函数L（x）=（x﹣3）（11﹣x）²﹣a（11﹣x）²
=（x﹣3﹣a）（11﹣x）²，x∈[7，10]．
（2）对利润函数求导，得L′（x）
=（11﹣x）²﹣2（x﹣3﹣a）（11﹣x）
=（11﹣x）（11﹣x﹣2x+6+2a）
=（11﹣x）（17+2a﹣3x）；
由L′（x）=0，得x=11（舍去）或x= ；
因为1≤a≤3，所以 ≤ ≤ ；
所以，①当 ≤ ≤7，即1≤a≤2时，
L′（x）在[7，10]上恒为负，则L（x）在[7，10]上为减函数，
所以[L（x）]_max=L（7）=16（4﹣a）
②当7＜ ≤ ，即2＜a≤3时，
L′（x）在（7， ）上为正，L（x）是增函数；
L′（x）在（ ，10]上为负，L（x）是减函数，
所以[L（x）]_max=L（ ）= （8﹣a）³．
即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16（4﹣a）万元．
当2＜a≤3时，则每件产品出厂价为 元时，年利润最大，为 （8﹣a）³万元．