题目

题型：高考真题难度：来源：

设函数f（x）=e^x-e^-x，
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f（x）的导数，
由于，
故f′（x）≥2，（当且仅当x=0时，等号成立）。
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，
则，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax；
（ⅱ）若a＞2，方程g′（x）=0的正根为，
此时，若，则g′（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数，
所以，时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾；
综上，满足条件的a的取值范围是(-∞，2]。