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题目
题型:海淀区二模难度:来源:
已知函数f(x)=(2ax-x2)eax,其中a为常数,且a≥0.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值点;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(


2
,2)
上单调递减,求实数a的取值范围.
答案
解法一:(Ⅰ)依题意得f(x)=(2x-x2)ex,所以f"(x)=(2-x2)ex
令f′(x)=0,得x=±


2

x∈(-∞,-


2
)
时,f(x)<0,函数f(x)在此区间单调递减;
当x∈(-


2


2
)
时,f(x)>0,函数f(x)在此区间上单调递增;
当x∈(


2
,+∞)
时,f(x)<0,函数f(x)在此区间上单调递减;
由上可知,x=-


2
是函数f(x)的极小值点,x=


2
是函数f(x)的极大值点.

(Ⅱ)f"(x)=[-ax2+(2a2-2)x+2a]eax
由函数f(x)在区间(


2
,2)
上单调递减可知:f′(x)≤0对任意x∈(


2
,2)
恒成立,
当a=0时,f′(x)=-2x,显然f"(x)≤0对任意x∈(


2
,2)
恒成立;
当a>0时,f′(x)≤0等价于ax2-(2a2-2)x-2a≥0,
因为x∈(


2
,2)
,不等式ax2-(2a2-2)x-2a≥0等价于x-
2
x
2a2-2
a

令g(x)=x-
2
x
,x∈[


2
,2]

则g"(x)=1+
2
x2
,在[


2
,2]
上显然有g′(x)>0恒成立,所以函数g(x)在[


2
,2]
单调递增,
所以g(x)在[


2
,2]
上的最小值为g(


2
)=0

由于f′(x)≤0对任意x∈(


2
,2)
恒成立等价于x-
2
x
2a2-2
a
对任意x∈(


2
,2)
恒成立,
需且只需g(x)min
2a2-2
a
,即0≥
2a2-2
a
,解得-1≤a≤1,因为a>0,所以0<a≤1.
综合上述,若函数f(x)在区间(


2
,2)
上单调递减,则实数a的取值范围为0≤a≤1.
a2-1
a
>0,即a>1时,由于函数h(x)的图象是连续不间断的,
假如h(x)≥0对任意x∈(


2
,2)
恒成立,则有h(


2
)≥0

解得-1≤a≤1,与a>1矛盾,所以h(x)≥0不能对任意x∈(


2
,2)
恒成立.
综上所述:若函数f(x)在区间(


2
,2)
上单调递减,则实数a的取值范围为0≤a≤1.
核心考点
试题【已知函数f(x)=(2ax-x2)eax,其中a为常数,且a≥0.(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值点;(Ⅱ)若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减,求实数】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lnx2-
2ax
e
,(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数f(x)的递增区间;
(Ⅱ)当a=1时,过点P(0,t)(t∈R)作曲线y=f(x)的两条切线,设两切点为P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))(x1≠x2),求证:x1+x2=0.
题型:河南模拟难度:| 查看答案
设f(x)=x3-3x2+5
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若x∈[1,3],求f(x)的最大值和最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax2+3x,a∈R,
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,5]上的最大值;(2)若函数f(x)是R上的单调递增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
lnx
x

(I)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若y=xf(x)+
1
x
的图象总在直线y=a的上方,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若函数f(x)与g(x)=
1
6
x-
m
x
+
2
3
的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数m的值.
题型:宣武区二模难度:| 查看答案
设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.
(Ⅰ)用t表示a,b,c;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t的取值范围.
题型:湖南难度:| 查看答案
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