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题目
题型:不详难度:来源:
若函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a
(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;
(Ⅱ)若存在x<0使得f′(x)=-9,求实数a的最大值.
答案
f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a
,求导数,可得f′(x)=x2-(a+1)x+b,…(1分)
由f′(0)=0得b=0,f′(x)=x(x-a-1).…(3分)
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=
1
3
x3-x2+1
,f′(x)=x(x-2),
∴f(3)=1,f′(3)=3.…(5分)
∴函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),…(6分)
即3x-y-8=0.…(7分)
(Ⅱ)∵存在,使x<0得f′(x)=x(x-a-1)=-9,
-a-1=-x-
9
x
=(-x)+(-
9
x
)≥2


(-x)×(-
9
x
)=6

∴a≤-7,…(10分)
当且仅当x=-3时,a=-7.                                       …(12分)
∴a的最大值为-7.                                           …(14分)
核心考点
试题【若函数f(x)=13x3-a+12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
函数y=
1
2
(ex+e-x)
的导数是(  )
A.
1
2
(ex-e-x)
B.
1
2
(ex+e-x)
C.ex-e-xD.ex+e-x
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(1)求函数y=
x+3
x2+3
的导数
(2)已知f(x)=x3+4cosx-sin
π
2
,求f"(x)及f′(
π
2
)
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已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn(x)=f′n-1(x),( n∈N*,n≥2).则f1
π
4
)+f2
π
4
)+…+f2010
π
4
)=______.
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函数f(x)=(3x-5)2的导数是(  )
A.2(3x-5)B.6xC.6x(3x-5)D.6(3x-5)
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若f(x)=e
1
x
,则
lim
t→0
f(1-2t)-f(1)
t
=______.
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