题目
题型:不详难度:来源:
(1)设是函数的极值点,求的值并讨论的单调性;
(2)当时,证明:>.
答案
(2)见解析.
解析
试题分析:(1)根据是的极值点得,可得导函数值为0,即,求得.进一步讨论导函数为正、负的区间,即得解;
(2)可以有两种思路,一种是注意到当,时,,
转化成证明当时,>.
研究函数当时, 取得最小值且.
证得,==.
得证.
第二种思路是:当,时,,根据,转化成.
构造函数,研究得到函数在时取唯一的极小值即最小值为.达到证明目的.
试题解析:(1),由是的极值点得,
即,所以. 2分
于是,,
由知 在上单调递增,且,
所以是的唯一零点. 4分
因此,当时,;当时,,所以,函数 在上单调递减,在上单调递增. 6分
(2)解法一:当,时,,
故只需证明当时,>. 8分
当时,函数在上单调递增,
又,
故在上有唯一实根,且. 10分
当时,;当时,,
从而当时, 取得最小值且.
由得,. 12分
故
==.
综上,当时,. 14分
解法二:当,时,,又,所以
. 8分
取函数,,当时,,单调递减;当时,,单调递增,得函数在时取唯一的极小值即最小值为. 12分
所以,而上式三个不等号不能同时成立,故>. 14分
核心考点
举一反三
(1)判断曲线在点(1,)处的切线与曲线的公共点个数;
(2)当时,若函数有两个零点,求的取值范围.
A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) |
B.f(x)=2(x-1) |
C.f(x)=2(x-1)2 |
D.f(x)=x-1 |
=-;④(e3)′=e3.其中正确的个数为 ( ).
A.0个 | B.1个 |
C.2个 | D.3个 |
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