题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，记f(x)=

m

•

n

，
（1）求f（x）的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，若f(A)=

1+ 3

2

，试判断△ABC的形状．

答案

因为向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，
所以f(x)=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

（1）f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，值域[-

1

2

，

3

2

]．
令2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
单调增区间是[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，k∈Z．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA
∵sinA＞0，∴cosB=

1

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

3

∵f(A)=

1+ 3

2

，
∴sin（

A

2

+

π

6

）=

3

2

∴

A

2

+

π

6

=

π

3

或

A

2

+

π

6

=

2π

3

∴A=

π

3

或A=π（舍去）
∴C=

π

3

∴A=

π

3

，B=

π

3

，C=

π

3

，所以三角形为等边三角形．