题目

题型：湖南难度：来源：

已知函数f(x)=cos2

x

2

-sin2

x

2

+sinx．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）当x0∈(0，

π

4

)且f(x0)=

4 2

5

时，求f(x0+

π

6

)的值．

答案

由题设有f（x）=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)．
（I）函数f（x）的最小正周期是T=2π．
（II）由f(x0)=

4 2

5

得

2

sin(x0+

π

4

)=

4 2

5

，即sin(x0+

π

4

)=

4

5

，
因为x0∈(0，

π

4

)，所以x0+

π

4

∈(

π

4

，

π

2

).
从而cos(x0+

π

4

)=

1-sin2(x0+ π 4 )

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

.
于是f(x0+

π

6

)=

2

sin(x0+

π

4

+

π

6

)=

2

sin[(x0+

π

4

)+

π

6

]=

2

[sin(x0+

π

4

)cos

π

6

+cos(x0+

π

4

)sin

π

6

]=

2

(

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

)=

4 6 +3 2

10

.