题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
1 |
2 |
x1+x2 |
2 |
(I)证明:定义在R上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)是凸函数;
(II)对(I)的函数y=f(x),若|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,求|f(4)|取得最大值时函数y=f(x)的解析式;
(III)定义在R上的任意凸函数y=f(x),当q,p,m,n∈N*且p<m<n<q,p+q=m+n,证明:f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
答案
有[f(x1)+f(x2)]-2f(
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴当a<0时,f(x1)+f(x2)≤2f(
x1+x2 |
2 |
f(x1)+f(x2) |
2 |
x1+x2 |
2 |
当a<0时,函数f(x)是凸函数.
(2)因为|f(1)|≤1,|f(2)|≤2,|f(3)|≤3,
所以
|
又f(4)=16a+4b+c
设16a+4b+c=x(a+b+c)+y(4a+2b+c)+z(9a+3b+c)
所以
|
解得x=1,y=-3,z=3
所以f(4)=f(1)-3f(2)+3f(3)
所以-16≤f(4)≤16
所以f(4)的最大值为16
当
|
解得a=4,b=-15,c=12,
(III)因为p<m<n<q,p+q=m+n,y=f(x)为凸函数,
所以f(p)+f(q)≤2f(p+q)=2f(m+n)
f(m)+f(n))≤2f(m+n)
因为y=f(x)为凸函数,
所以f(p)+f(q)≤f(m)+f(n).
核心考点
试题【若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上任意x1,x2都有不等式12[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x22)成立,则称函数y=f(x)在区间D上的凸】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
x+2 |
x-3 |
(1)求f(x)的表达式;
(2)求f(x)的定义域;
(3)判定f(x)的奇偶性与实数a之间的关系,并说明理由.
设函数g(x)=
4x+2 |
x+3 |
ax+b |
cx+d |
(1)求函数g(x)的不动点x1,x2;
(2)设a1=3,{an} 是由函数g(x)导出的数列,对(1)中的两个不动点x1,x2(不妨设x1<x2),数列求证{
an-x1 |
an-x2 |
lim |
n→∞ |
(3)试探究由函数h(x)导出的数列{bn},(其中b1=p)为周期数列的充要条件.
注:已知数列{bn},若存在正整数T,对一切n∈N*都有bn+T=bn,则称数列{bn} 为周期数列,T是它的一个周期.
4 |
x |
1-a+lnx |
x |
(I)求f(x)的极值;
(II)若lnx-kx<0在(0,+∞)上恒成立,求k的取值范围;
(III)已知x1>0,x2>0,且x1+x2<e,求证:x1+x2>x1x2.
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