题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)g(x)=f[f(x)],F(x)=pg(x)+f(x),问是否存在p(p<0)使F(x)在区间(-∞,-3]上是减函数,且在区间(-3,0)内是增函数?试证明你的结论.
答案
由于f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2),
所以f(t)=a(t+2)2-(a-3)(t+2)+(a-2)
=at2+3(a+1)t+(3a+4)
∴f(x)=ax2+3(a+1)x+(3a+4)
∵y=f(x)的图象关于y轴对称
∴a≠0且3(a+1)=0,即a=-1
故f(x)=-x2+1
(Ⅱ)g(x)=f[f(x)]=-(-x2+1)2+1
=-x4+2x2F(x)=pg(x)+f(x)=-px4+(2p-1)x2+1
设存在p(p<0),使F(x)满足题目要求,
则当-∞<x1<x2≤-3时,
F(x)是减函数,即F(x1)-F(x2)
=(x12-x22)[2p-1-p(x12+x22)]>0
由假设-x1>-x2≥3>0,∴x12>x22>9
∴2p-1-p(x12+x22)>0 ①
又p<0,x12+x22>18∴-p(x12+x22)>-18p
∴2p-1-p(x12+x22)>2p-1-18p=-16p-1
要使①式恒成立,只须-16p-1≥0即p≤-
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又当-3<x1<x2<0时,F(x)是增函数,
即F(x1)-F(x2)<0,也就是2p-1-p(x12+x22)<0 ②
此时0<-x2<-x1<3.x12+x22<18-p(x12+x22)<-18p,
2p-1-p(x12+x22)<-16p-1
要使②式恒成立,只须-16p-1≤0即p≥-
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故存在p=-
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另依题意F(-3)是F(x)的极小值,∴F′(-3)=0.
∵F"(x)=-4px3+2(2p-1)x,∴-4p(-3)3+2(2p-1)(-3)=0,
即p=-
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F(x)=
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∴当x<-3时,F"(x)<0,F(x)在(-∞,-3]上是减函数;
当x∈(-3,0)时,F(x)是增函数.
故存在p=-
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核心考点
试题【已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称,且满足f(x-2)=ax2-(a-3)x+(a-2).(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)g(x)=f[f(x)],F(】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当k=1时,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间[0,10]上总有意义,求k的取值范围.
2x |
x+1 |
(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.
(2)若数列{an}满足a1=
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3 |
1 |
an |
(3)在(2)的条件下,若cn=an•an+1•bn+1(n∈N+),证明:c1+c2+c3+…cn<
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3 |
(1)求证:直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴;
(2)当x=[1,5]时,求函数f(x)的解析式.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≤t(x2+1)总成立,求实数t的取值范围.
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