当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的奇偶性与周期性 > 已知函数f(x)=2xx+1(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.(2)若数列{an}满足a1=23,an+1=f(an),bn=1an-1...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
2x
x+1

(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.
(2)若数列{an}满足a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
1
an
-1
,n∈N+,证明数列{bn}是等比数列,并求出数列{bn}、{an}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若cn=an•an+1•bn+1(n∈N+),证明:c1+c2+c3+…cn
1
3
答案
(1)∵x≥1得f(x)-x=
2x
x+1
-x=
2x-x2-x
x+1
=
-x(x-1)
x+1
≤0,
而x≥1时,lnx≥0
∵x≥1时,f(x)-x≤lnx
∴当x≥1时,f(x)≤x+lnx恒成立
(2)a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
1
an
-1,n∈N+∴an+1=
2an
an+1
1
an+1
=
1
2
+
1
2an

∴a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
1
an
-1,n∈N+
bn+1
bn
=
1
an+1
-1
1
an
-1
=
1
2
+
1
2an
-1
1
an
-1
=
1
2an
-
1
2
1
an
-1
=
1
2
(n∈N+
又b1=
1
a1
-1=
1
2
∴{bn}是首项为
1
2
,公比为
1
2
的等比数列,其通项公式为bn=
1
2n

又a1=
2
3
,an+1=f(an),bn=
1
an
-1,n∈N+
∴an=
1
bn+1
=
1
1
2n
+1
=
2n
2n+1
(n∈N+
(3)cn=an•an+1•bn+1=
2n
2n+1
×
2n+1
2n+1+1
×
1
2n+1
=
2n
2n+1
×
1
2n+1+1
=
1
2n+1
-
1
2n+1+1

∴c1+c2+c3+…+cn=(
1
21+1
-
1
22+1
)+(
1
22+1
-
1
23+1
)+…+(
1
2n+1
-
1
2n+1+1
)=
1
3
-
1
2n+1+1
1
3
核心考点
试题【已知函数f(x)=2xx+1(1)当x≥1时,证明:不等式f(x)≤x+lnx恒成立.(2)若数列{an}满足a1=23,an+1=f(an),bn=1an-1】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设f(x)是R上的奇函数,且对∀x∈R都有f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1时,f(x)=x3
(1)求证:直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴;
(2)当x=[1,5]时,求函数f(x)的解析式.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e(其中a、b、c、d、x∈R)为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若对任意x∈R,不等式f(x)≤t(x2+1)总成立,求实数t的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
ax3-
1
4
x2
+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f"(1)=0,且f"(x)≥0在R上恒成立.
(1)求a,c,d的值;
(2)若h(x)=
3
4
x2-bx+
b
2
-
1
4
,解不等式f"(x)+h(x)<0;
(3)是否存在实数m,使函数g(x)=f"(x)-mx在区间[m,m+2]上有最小值-5?若存在,请求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R),
(1)若当x∈[-1,1],f(x)≤0恒成立,求
b-5
a-2
的取值范围;
(2)若a∈[-1,1],b∈[-1,1],求f(x)无零点的概率;
(3)若对于任意的正整数k,当x=
55…5





k个5
时,都有f(x)=
55…5





2k个5
成立,则称这样f(x)是K2函数,现有函数g(x)=
14
5
x2+(a+2)x+b-f(x)
,试判断g(x)是不是K2函数?并给予证明.⏟
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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