题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f （x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

答案

（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

）；
（2）要使f （x）为偶函数，则必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0对x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，又0≤θ≤π，
则θ=

π

6

；
（3）当θ=

π

6

时，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x=1，
∴cos2x=

1

2

，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±

π

6

，
则x的集合为{x|x=±

π

6

}．