题目
题型:解答题难度:一般来源:淄博一模
1 |
x |
(Ⅰ)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(Ⅱ)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b],若存在,则求出a,b的值,若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb](m≠0),求m的取值范围.
答案
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∴f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上是增函数.
由0<a<b,且f(a)=f(b),可得 0<a<1<b和
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a |
1 |
b |
1 |
a |
1 |
b |
∴2ab=a+b>2
ab |
故
ab |
(II)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=f(x)=|1-
1 |
x |
则a>0,f(x)=
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①当a,b∈(0,1)时,f(x)=
1 |
x |
故
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故此时不存在适合条件的实数a,b.…(6分)
②当a,b∈[1,+∞)时,f(x)=1-
1 |
x |
故
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此时a,b是方程x2-x+1=0的根,此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a,b.…(8分)
③当a∈(0,1),b∈[1,+∞)时,由于1∈[a,b],而f(1)=0∉[a,b],
故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b.…(10分)
(III)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].
则a>0,m>0.
①当a,b∈(0,1)时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,故
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此时刻得a,b异号,不符合题意,所以a,b不存在.
②当a∈(0,1)或b∈[1,+∞)时,由( II)知0在值域内,值域不可能是[ma,mb],所以a,b不存在.
故只有a,b∈[1,+∞).
∵f(x)=|1-
1 |
x |
∴
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∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个根,即关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的实根.…(12分)
设这两个根为x1,x2,则x1+x2=
1 |
m |
1 |
m |
∴
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解得0<m<
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4 |
故m的取值范围是0<m<
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4 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=|1-1x|,(x>0).(Ⅰ)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;(Ⅱ)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
lnx |
A.f2(x)<f(x2)<f(x) | B.f(x2)<f2(x)<f(x) | C.f(x)<f(x2)<f2(x) | D.f(x2)<f(x)<f2(x) |
lim |
△x→0 |
f(1+△x)-f(1) |
△x |
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1 |
2 |
A.y=x2 | B.y=x3 | C.y=-x | D.y=tanx |
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