题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

弹性题：已知函数f（x）在（0，+∞）上有意义，且满足下列条件：①f（x）在（0，+∞）上递减，且f(x)＞

1

x2

；②在（0，+∞）上在恒有f2(x)•f[f(x)-

1

x2

]=f3(1)．
（1）求f（1）； 
（2）写出一个满足题设条件的函数f（x）．

答案

（1）由已知得

f2(1)f[f(1)-1]=f3(1) f(1)＞1

∴f[f（1）-1]=f（1）
又f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（1）-1=1即
∴f（1）=2
（2）设f(x)=

a

x2

，
∵f（1）=2
∴a=2，可证明f(x)=

2

x2

在（0，+∞）上是减函数，符合条件（1）又f2(x)f[f(x)-

1

x2

]=(

2

x2

)2f(

2

x2

-

1

x2

)=

4

x2

f(

1

x2

)=8=f3(1)，符合条件（2）
∴f(x)=

2

x2

满足题设的两个条件．