题目

题型：不详难度：来源：

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，
①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？若不成立，请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

答案

（1）可通过证明△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．
（2）结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：
∠AFC=∠ACB∠DAC（3），，1，

解析

试题分析：（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°．
∵∠DAF=60°，∴∠BAC=∠DAF．∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF．∴∠ADB=∠AFC．  
②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．   
（2）结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：
∠AFC=∠ACB∠DAC（或这个等式的正确变式）．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC= 60°．
∵∠DAF = 60°，∴∠BAC=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．
∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF．
∴△ABD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB－∠DAC．       
（3）补全图形如下图：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．
点评：本题难度较低，主要考查学生对：全等三角形性质和判定及四边形性质知识点的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧。