题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB 边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，PQ交射线BC于点E，设AP=x。
（1）如果△APD是等腰三角形，求x的值；
（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出BC的长在什么范围内时，存在这样的点P，使得PQ经过点C。

答案

解：（1）过点D作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6，
∴AH=2，
∵AP=x，
依题意得2＜x＜8，
∴PH=x-2，
①当AP=AD时，，
②当AD= PD时，有AH=PH，
∴2=x-2，
解得x=4，
③当AP=PD时，
在Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，
解得x=5，
∵2＜x＜8，
∴△APD是等腰三角形时，，4或5；
（2）∵点P不与点B重合，
∴点E必在线段BC上，易证△DPH∽△PEB，
∴
∴
整理得y=（x-2）（8-x），
即y=-x²+x-4；
（3）假设存在满足条件的点P，则BE=BC=4，
即y=-x²+x-4=4，
整理，得x²-10x+32=0，
∵△=（-10）² -4×32＜0，
∴此方程无实数解，与假设矛盾，
∴不存在点P，使得PQ经过点C，
 当BC满足O＜BC≤时，存在点P，使得PQ经过点C。