题目

题型：广东省期末题难度：来源：

如图①，直线y=x-3与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A、B、C三点，D为线段AB中点，点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接DP交BC于点E。
（1）写出A、B、C三点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标；
（3）连结PC、PB（如图②），△PBC是否有最大面积？若有，求出△PBC的最大面积和此时P点的坐标；若没有，请说明理由。

答案

解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得-3a=-3，解得a=1
∴抛物线的解析式为；
（2）（2，-1），E₂（3-，-），E₃（1，-2）；
（3）作PF⊥x轴于点F，设△PBC的面积为S，则
S===，
又∵点P是抛物线上的点，且m＞0，n＜0，
∴，
∴=，
∴当m=时，△PBC的面积的面积最大，最大面积为，此时P点的做标为。