题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm／s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm／s；连接PQ。若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），根据以上信息，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设四边形PQCB的面积为y（cm²），直接写出y与t之间的函数关系式；
（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）在Rt△ABC中，AB==5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
当PQ∥BC，则△AQP∽ACB，
∴，
∴，t=，＜2，
当PQ⊥BC，则△APQ∽ACB，
∴，
∴，
∴t=，＜2，
∴当t=或t=时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）y=；
（3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形，
①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴，
即，解得t=，＜2，
②当沿PQ翻折时，AQ=AP，2t=5-t，
解得t=＜2
③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，
∴Rt△AHP∽Rt△ACB，
∴
即，解得：t=＞2（不合题意应舍去）
综上所述，当 t=或t=时，所形成的四边形为菱形。