题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上），若⊙P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1。
（1）求B点坐标；
（2）求证：ME是⊙P的切线；
（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，①求△ACQ周长的最小值；②若FQ=t，S_△ACQ=s，直接写出s与t之间的函数关系式。

答案

解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，
∵正方形CDEF的面积为1，
∴CD=CF=1，
根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，
PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1（n=舍去），
∴BC=OC=2，
∴B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
即
∴抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，
∵C与G关于直线x=3对称，
∴CF=FG=1，
∴MF=FG=，
在Rt△PEF与Rt△EMF中，
，
∴，
∴△PEF∽△EMF，
∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切线；（3）①如图乙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=A′Q，
∴△ACQ周长的最小值为（AC+A′C）的长，
∵A与A′关于直线x=3对称，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=，
而AC=，
∴△ACQ周长的最小值为；
②当Q点在F点上方时，S=t+1，
当Q点在线段FN上时，S=1-t，
当Q点在N点下方时，S=t-1。
                         图乙