题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限。
①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标。
温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答。

答案

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴
∴b=-2，
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3； （2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则，
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x-3；（3）①∵AB=4，PO=AB，
∴PO=3
∵PO⊥y轴
∴PO∥x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为，
∴P（，）
∴F（0，），
∴FC=3-OF=3-，
∵PO垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=，
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，
则D（1，-2）过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=-1=，
在Rt△EGD中，tan∠CED=，
②P₁（1-，-2），P₂（1-，）。