题目

题型：安徽省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（-1，0）、，0（0，0），将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得到△A′B′O。
（1）如图，一抛物线经过点A、B、B′，求该抛物线的解析式；
（2）设点P是在第一象限内抛物线上一动点，求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值。

答案

解：（1）∵抛物线过点A（-1，0），
设抛物线的解析式为（a≠0），
又∵抛物线过，将坐标代人抛物线的解析式得：，a=-1，
∴
即满足条件的抛物线的解析式为； （2）如图，
连接BB"，PB，PB"，
∵P为第一象限内抛物线上一动点，
S_{四边形PBAB"}=S_△ABB"+S_△PBB′，
且△ABB"的面积为定值，
∴S_{四边形PBAB"}最大时，S_△PBB′必须最大，
∵BB"的长度为定值，
∴S_△PBB"最大时点P到BB"的距离最大，
即将直线BB"向上平移到与抛物线有唯一交点时，P到BB"的距离最大，
设与直线BB"平行的直线l的解析式为y=-x+m，
联立
得x²-x+m-=0，
令
解得，
此时直线l的解析式为：
所以
解得
∴直线l与抛物线的唯一交点坐标为，
设l与y轴交于E，则，
过B作BF⊥l于F，
在Rt△BEF中，∠FEB=45°，
∴
过P作PG⊥ BB"于G，
则P到BB"的距离，
此时四边形PBAB"的面积最大，
∴S_{四边形PBAB"}的最大值=，
 
。