题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，已知抛物线经过定点A（1，0），它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在轴右侧），直线BA交y轴于C点，按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：
（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA 与CB的比值；
（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与 CB的比值是否与（1）所求的比值相同？请说明理由。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为， 　
抛物线经过A（1，0），
∴，
∴，
∵P′、P关于x轴对称，且P（0，1），
∴P′点的坐标为（0，-1），
∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为-1，
由解得，，
∴ B（，-1），
∴P"B=，
∵OA∥P"B，
∴△CP"B∽△COA，
∴； 　　 　
（2）设抛物线的解析式为　　
∵抛物线经过A（0，1），
∴，
∴，　　　　　
∵P′B∥x轴，
∴B点的纵坐标为-m，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴P"B=，
同（1）得， 　　
∴m为任意正实数时，。