题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

已知抛物线的顶点是C（0，a） （a>0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点。
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S_△ABD=4，求a的值。

答案

解：（1）设抛物线的解析式为y=kx²+a，
∵点D（2a，2a）在抛物线上，
4a2k+a=2a，
∴k=，
∴抛物线的解析式为y=x²+a； （2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，
在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=（y-2a）²+x²=y²-4ay+4a²+x²，
∵y=x²+a
∴x²= 4a×（y-a）=4ay-4a²，
∴PD²=y²-4ay+4a²+4ay-4a²=y²=PH²，
∴PD=PH。

（3）过B点BE⊥x轴，AF⊥x轴，
由（2）的结论：BE=DB AF=DA，
∵DA=2DB，
∴AF=2BE，
∴AO=2BO，
∴B是OA的中点，
∴C是OD的中点，
连结BC，
∴BC===BE=DB，
过B作BR⊥y轴，
∵BR⊥CD，
∴CR=DR，OR=a+=，
∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上，
∴=x²+a，
∴x²=2a²，
∵x>0，
∴x=a，
∴B （a，）
AO=2OB，
∴S_△ABD=S_△OBD=4
所以，×2a×a=4
∴a²=4，
∵a>0，
∴a=2。