题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，且与x轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标为（-1，0）。
（1）求二次函数的关系式；
（2）在抛物线上有一点A，其横坐标为-2，直线l过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是点B，点B的横坐标满足-2＜x_B＜，当△AOB的面积最大时，求出此时直线l的关系式；
（3）抛物线上是否存在点C使△AOC的面积与（2）中△AOB的最大面积相等，若存在，求出点C的横坐标；若不存在说明理由。

答案

解：（1）二次函数y=x²+bx+c图象的对称轴是直线x=1，且过点A（-1，0），
代入得：-=1，1-b+c=0，
解得：b=-2，c=-3，
所以二次函数的关系式为：y=x²-2x-3； （2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，-），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y=x-，
∵P为线段AB上的一个动点，
∴P点坐标为（x，），（0＜x＜3）
由题意可知PE∥y轴，
∴E点坐标为（x，），
∵0＜x＜3，
∴PE=（）-（）=-； （3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，
∴D点坐标（1，-1），
①当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，
∴，
过点D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=-1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x-1，
∴DP=（x-1），
∴，
解得：x=-1±（负值舍去），
∴P（-1，）（如图中的P1点）；
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，
∴，
由（2）PE=-，DE=x-1，
∴，
解得：x=1±，（负值舍去），
∴P（1+，-1）（如图中的P₂点）；
综上所述，P点坐标为（-1，）或（1+，）。