题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知A（-4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C（0，2），过点C作圆的切线交x轴于点D。

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？

答案

解：（1）令二次函数，则

∴，
∴过点A，B，C三点的解析式为；
（2）以为直径的圆圆心坐标为，
∴，，
∵CD为⊙O"切线，
∴OC"⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）存在；
抛物线对称轴为x=，
设满足条件的圆的半径为|r|，则E的坐标为，
而E点在抛物线上，
∴，
∴，
故在以为EF直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为。