题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为
（1，0）．若抛物线y=﹣x²+bx+c过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

答案

解：（1）如答图1，连接OB．
∵BC=2，OC=1，
∴OB==，
∴B（0，），
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，
∴y=﹣x²+x+；
（2）存在．如答图2，
作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，
得﹣x²+x+=；
解得x=1±，
∴P（1±，）；
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（x_m，y_m），
则S_△MAB=S_梯形MBOH+S_△MHA﹣S_△OAB
=（MH+OB）·OH+HA·MH﹣OA·OB
=（y_m+）x_m+（3﹣x_m）y_m﹣×3×
=x_m+y_m﹣
∵y_m=﹣x_m²+x_m+，
∴S_△MAB=x_m+（﹣x_m²+x_m+）﹣
=x_m²+x_m
=（x_m﹣）²+
∴当x_m=时，S_△MAB取得最大值，最大值为．