题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax²+bx+c过点C，动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动，点P，Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E。
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值。

答案

解：（1）A（1，4）
由题意知，可设抛物线解析式为y=a(x-1) ²+4
因抛物线过点C（3，0），
∴0=a（3-1）²+4
∴a=-1
所以抛物线的解析式为y=-(x-1) ²+4，
y=-x²+2x+3
（2）∵A（1，4），C（3，0），
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6. 点P（1，4-t）
将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+.
∴点G的横坐标为1+t/2，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4-t²/4.
∴GE=（4-）-（4-t）=t-.
又点A到GE的距离为t/2，C到GE的距离为2-t/2，
S_△ACG=S_△AEG+S_△CEG=1/2·EG·t/2+1/2·EG（2-t/2）
=·2（t-）=-（t-2）²+1.
当t=2时，S△ACG的最大值为1.
（3）t=或t=20-8。