题目

题型：北京市期末题难度：来源：

如图，直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点）中AC∥OB，AO⊥OB，AC=1，OA=2，OB=5。
（1）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；
（2）延长AC交抛物线于点D，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P、Q分别从O、D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O向B运动，点Q沿DC由D由C运动（其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止），过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM，设动点运动的时间为t秒，请你探索：当时间t为何值时，△PMB中有一个角是直角。

答案

解：（1）由题意知，O（0，0），C（1，2），B（5，0），
设过O、C、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将C、B点坐标代入y=ax²+bx，得
可得
∴；
（2）当y=2时，则，
解得，x₁=1，x₂=4，
∴CD=4﹣1=3；
（3）延长QM交x轴于点N，有MN⊥OB，
①当点P与点N重合时，有MP⊥OB，则四边形AOPQ是矩形，
∴AQ=OP即4﹣t=t
∴t=2；
②若MP∥BM，则△PNM∽△MNB，
∴MN²=PN·BN，
∵CQ∥NB，
∴△CQM∽△BNM
∴，
即=，
则MN=，
∵BN=1+t，PN=5﹣（1+t）﹣t=4﹣2t，
∴=（4﹣2t）（t+1）
解得，t₁=﹣1（舍去），，
综合①，②知，当t=2或时，△PMB中有一个角是直角。