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题目
题型:不详难度:来源:
如图1,抛物线y=x2的顶点为P,A、B是抛物线上两点,ABx轴,四边形ABCD为矩形,CD边经过点P,AB=2AD.
(1)求矩形ABCD的面积;
(2)如图2,若将抛物线“y=x2”,改为抛物线“y=x2+bx+c”,其他条件不变,请猜想矩形ABCD的面积;
(3)若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”,其他条件不变,请猜想矩形ABCD的面积.(用a、b、c表示,并直接写出答案)
附加题:若将题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”条件不要,其他条件不变,探索矩形ABCD面积为常数时,矩形ABCD需要满足什么条件并说明理由.
答案
(1)设AD=m,
∵AB=2AD,
∴AB=2m,又抛物线是轴对称图形,
∴PD=m.
∴点A的坐标为(-m,m),
∴m2=m,
又∵m≠0,
∴m=1
∴矩形ABCD的面积为1×2=2.

(2)设抛物线y=x2+bx+c=(x-h)2+n,
∴点P的坐标为(h,n),
设AD=m,
∵AB=2AD,
∴AB=2m,
又∵抛物线是轴对称图形,
∴PD=m,
∴点A的坐标为(h-m,n+m),
∴n+m=(h-m-h)2+n,
∴m=m2
又∵m≠0,
∴m=1,
∴矩形ABCD的面积为1×2=2.

(3)
2
a2


附加题:
AB
AD
为常数,
设抛物线y=ax2+bx+c=a(x-h)2+n,
∴点P的坐标为(h,n),
设AD=m,
AB
AD
=k,
∴AB=km,
又∵抛物线是轴对称图形,
∴PD=
km
2

∴点A的坐标为(h-
km
2
,n+m
),
∴n+m=a(h-
km
2
-h)2+n,
∴m=
ak2m2
4

又∵m≠0,
∴m=
4
ak2

∴矩形ABCD的面积为km2=
16
a2k3

∵a为常数,
∴k为常数时,矩形ABCD的面积为常数,
AB
AD
为常数时,矩形ABCD的面积为常数.
核心考点
试题【如图1,抛物线y=x2的顶点为P,A、B是抛物线上两点,AB∥x轴,四边形ABCD为矩形,CD边经过点P,AB=2AD.(1)求矩形ABCD的面积;(2)如图2】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
九三,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是边长为6的正方形,6A=2,求:
(e)写出A、B、C、D各点的坐标;
(2)若正方形ABCD的两条对角线相交于点P,请求出经过6、P、B三点的抛物线的解析式;
(我)在(2)中的抛物线0,是否存在一点Q,使△QAB的面积为e6?九果存在,请求出Q点的坐标;九果不存在,请说明理由.
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(人教版)已知:二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,交y轴正半轴于点C,且x12+x22=10.
(1)求此二次函数的解析式;
(2)是否存在过点D(0,-
5
2
)的直线与抛物线交于点M、N,与x轴交于点E,使得点M、N关于点E对称?若存在,求直线MN的解析式;若不存在,请说明理由.
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如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点M在第四象限内且在抛物线上,有OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标.
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抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),(3,0)(0,-3),求它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出草图.
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某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=
1
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x2的形状.今在一个坡度为1:5的斜坡上,俺水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱(如图),这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离为(  )
A.12.75米B.13.75米C.14.75米D.17.75米

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