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平面向量数量积的应用

平面向量数量积的应用

  平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念,利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题,例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明:

  (1)勾股定理: Rt△ABC中,∠C=90°,则

  |CA|²+|CB|²=|AB|²。

  ∵AB = CB-CA

  ∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

  又∵ ∠C=90°,有CA⊥CB,于是CA·CB=0

  ∴ AB²=AC²+BC²

  (2)菱形对角线相互垂直:菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点,求证AC⊥BD。

  设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

  ∵AC=(AB+BC),BD=(BC+CD)

  ∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

  又∵ cosα=-cos(π-α)

  ∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

  ∴AC⊥BD

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