平面向量数量积的应用

　　平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：

　　(1)勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，则

　　|CA|²+|CB|²=|AB|²。

　　∵AB = CB-CA

　　∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

　　又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

　　∴ AB²=AC²+BC²

　　(2)菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中,点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

　　设 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

　　∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

　　∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

　　又∵ cosα=-cos(π-α)

　　∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

　　∴AC⊥BD