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题目
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若函数f(x)对任意的实数x1x2D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2x1|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”.
(1)判断g(x)=sin xh(x)=x2x是不是实数集R上的“平缓函数”,并说明理由;
(2)若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn+1xn|≤,设yn=sin xn,求证:|yn+1y1|<.
答案
(1)不是(2)见解析
解析
g(x)=sin x是R上的“平缓函数”,但h(x)=x2x不是区间R上的“平缓函数”.设φ(x)=x-sin x,则φ′(x)=1-cos x≥0,则φ(x)=x-sin x是实数集R上的增函数,
不妨设x1x2,则φ(x1)<φ(x2),即x1-sin x1x2-sin x2
则sin x2-sin x1x2x1.   ①
yx+sin x也是R上的增函数,则x1+sin x1x2+sin x2
即sin x2-sin x1x1x2,      ②
由①②得-(x2x1)<sin x2-sin x1x2x1.
∴|sin x2-sin x1|<|x2x1|对x1x2都成立.
x1x2时,同理有|sin x2-sin x1|<|x2x1|成立.
又当x1x2时,|sin x2-sin x1|=|x2x1|=0,
∴对任意的实数x1x2∈R,
均有|sin x2-sin x1|≤|x2x1|.
g(x)=sin x是R上的“平缓函数”.
∵|h(x1)-h(x2)|=|(x1x2)(x1x2-1)|,
x1=3,x2=2,则|h(x1)-h(x2)|=4>|x1x2|,
h(x)=x2x不是R上的“平缓函数”.
(2)证明 由(1)得g(x)=sin x是R上的“平缓函数”.
则|sin xn+1-sin xn|≤|xn+1xn|,
∴|yn+1yn|≤|xn+1xn|.
而|xn+1xn|≤
∴|yn+1yn|≤.
∵|yn+1y1|=|(yn+1yn)+(ynyn-1)+(yn-1yn-2)+…+(y2y1)|,
∴|yn+1y1|≤|yn+1yn|+|ynyn-1|+|yn-1yn-2|+…+|y2y1|.
∴|yn+1y1|≤
.
核心考点
试题【若函数f(x)对任意的实数x1,x2∈D,均有|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|,则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”.(1)判断g(x)=sin 】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
f(x)与g(x)是定义在同一区间[ab]上的两个函数,若函数yf(x)-g(x)在x∈[ab]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[ab]上是“关联函数”,区间[ab]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2xm在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围是  (  ).
A.B.[-1,0]C.(-∞,-2]D.

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某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.
(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少;
(2)若提供饲料的公司规定,当一次购买饲料不少于5吨时,其价格可享受八五折优惠(即原价的85%).问:该厂是否应考虑利用此优惠条件?请说明理由.
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已知函数f(x)=x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a).
(1)求h(a);
(2)是否存在实数mn同时满足下列条件:
mn>3;
②当h(a)的定义域为[nm]时,值域为[n2m2]?若存在,求出mn的值;若不存在,说明理由.
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若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为(  ).                  
A.x+4y+3=0B.x+4y-9=0
C.4xy+3=0D.4xy-2=0

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若奇函数f(x)在(0,+∞)上的解析式是f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上,f(x)的解析式是(  ).
A.f(x)=-x(1-x)B.f(x)=x(1+x)
C.f(x)=-x(1+x)D.f(x)=x(1-x)

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