题目

题型：不详难度：来源：

如图，在C城周边已有两条公路l₁，l₂在点O处交汇．已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，现规划在公路l₁，l₂上分别选择A，B两处为交汇点(异于点O)直接修建一条公路通过C城．设OA＝x km，OB＝y km.

(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
(2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小．

答案

（1）y＝(x＞2)（2）4(＋1) km².

解析

(1)因为△AOC的面积与△BOC的面积之和等于△AOB的面积，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，
即x(＋)＋y(＋)＝xy，
所以y＝(x＞2)．
(2)△AOB的面积S＝xysin 75°＝xy＝×＝ (x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1)．
当且仅当x＝4时取等号，此时y＝4.
故OA＝4 km，OB＝4km时，△OAB面积的最小值为4(＋1) km²