题目
题型:不详难度:来源:
(2)已知,且,
求证:.
答案
解析
试题分析:(1)本题证明只要利用作差法即可证得;(2)这个不等式比较复杂,考虑到不等式的形式,我们可用数学归纳法证明,关键在时的命题如何应用时的结论,中要把两个括号合并成一个,又能应用时的结论证明时的结论,当时,结论已经成立,当时,在中可找到一个,不妨设为,使,即,从而有
,这样代入进去可证得时结论成立.
(1)因为,所以,即; 2分
(2)证法一(数学归纳法):(ⅰ)当时,,不等式成立. 4分
(ⅱ)假设时不等式成立,即成立. 5分
则时,若,则命题成立;若,则中必存在一个数小于1,不妨设这个数为,从而,即.同理可得,
所以
故时,不等式也成立. 9分
由(ⅰ)(ⅱ)及数学归纳法原理知原不等式成立. 10分
证法二:(恒等展开)左右展开,得
由平均值不等式,得
8分
故
. 10分
核心考点
举一反三
A.假设,,至多有两个小于 |
B.假设,,至多有一个小于 |
C.假设,,都不小于 |
D.假设,,都小于 |
证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2, ,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.
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