题目

题型：0110 月考题难度：来源：

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°；
（2）在线段A₁C上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q⊥AP，并证明你的结论。

答案

解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，
D(0，0，0)，B₁(1，1，1)，D₁(0，0，2)，
所以，

 又由知为平面的一个法向量，
设AP与面所成的角为θ，
则，，
解得：，
故当时，直线AP与平面所成角为60°。（2）若在A₁C₁上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，
则，
依题意，对任意的m要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等价于
 ，
即Q为A₁C₁的中点时，满足题设的要求。