题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长。

答案

（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC。 （Ⅱ）解：设AC∩BD=O，
因为∠BAD=60°，PA=PB=2，
所以BO=1，AO=CO=，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则 P（0，，2），A（0，，0），B（1，0，0），
C（0，，0），
所以，
设PB与AC所成角为θ，
则；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，
设P（0，，t）（t＞0），
则，
设平面PBC的法向量m=（x，y，z），
则，
所以，
令，
则，
所以，
同理，平面PDC的法向量，
因为平面PCB⊥平面PDC，
所以=0，
即，
解得t=，
所以PA=。