题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在多面体ABCDA₁E中，底面ABCD为正方形，AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA₁=2AB=4，且CE=λAA₁，A₁C⊥平面BED。
（1）求λ的值；
（2）求二面角A₁-BD-E的余弦值。

答案

解：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，过D作平行于AA₁的射线Dz为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
依题设知D（0，0，0），B（2，2，0）， C（0，2，0），A₁（2，0，4）
∵
∴
∴

∵A₁C⊥平面BED，
∴A₁C⊥DE
∴
∴
∴。（2）依题意可知是平面BED的一个法向量，
设向量n= （x，y，z）是平面DA₁B的一个法向量
则
∴2x+2y=0，2x+4z=0，
令z=1，则x=-2，y=2，
∴n=（-2，2，1）
∴。