题目

题型：安徽省模拟题难度：来源：

如图，已知直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，四边形ABCD为正方形，AA′=2AB=2，E为棱CC′的中点，
(1)求证：A′E⊥平面BDE；
(2)设F为AD中点，G为棱BB′上一点，且BG=BB′，求证：FG∥平面BDE；
(3)在(2)的条件下求二面角G-DE-B的余弦值．

答案

解：(1)连接AC、A′B，
∵四棱柱ABCD-A′B′C′D′为直四棱柱，且四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，BD⊥AA′，
又AC∩AA′=A，
∴BD⊥面ACEA′，
∵A′E面ACEA′，
∴BD⊥A′E，
，
∴A′B²=BE²+A′E²，
∴A′E⊥BE，
又∵BD∩BE=B，
∴A′E⊥面BDE。
(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A′(1，0，2)，E(0，1，1)，，
由(1)知：为面BDE的法向量，，
∴，
∴，
又∵FG面BDE，
∴FG∥面BDE。
(3)设平面DEG的法向量为n=(x，y，z)，
∵，，
则=0×x+1×y+1×z=0，即y+z=0，
，即，
令x=1，解得：y=-2，z=2，
∴n=(1，-2，2)，
∴，
∴二面角G-DE-B的余弦值为。