题目

题型：北京期中题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2， AB= BC，且AB⊥BC，O为AC中点，
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

答案

(Ⅰ)证明：因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，所以，A₁O⊥AC，
又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，
且面AA₁C₁C，
所以，A₁O⊥平面ABC．

(Ⅱ)解：如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别
为x，y，x 轴建立空间直角坐标系，
由题意可知，A₁A=A₁C=AC=2，
又AB= BC，AB⊥BC，，
所以得：O(0，0，0)，A(0，-l，0)，，
C(0，1，0)，，B(l，0，0)，
则有，
设平面AA₁B的一个法向量为n=(x，y，z)，
则有，
令y=1，则，
所以，，，
 因为直线A₁C与平面A₁AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，
所以，。
(Ⅲ)解：设E=（x₀，y₀，z₀），，
即-1+λ+2λ-λ=0，即，
即存在这样的点E，E为BC₁的中点。