题目

题型：不详难度：来源：

椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上的一点，且满足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求离心率的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5

2

；
①求此时椭圆G的方程；
②设斜率为k（k≠0）的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P(0，-

3

3

)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

答案

（1）设M（x，y），则

F1M

=(x+c，y)，

F2M

=(x-c，y)
由

F1M

•

F2M

=0⇒x2+y2=c2⇒y2=c2-x2（1分）
又M在椭圆上，∴y2=b2-

b2

a2

x2（2分）
∴c2-x2=b2-

b2

a2

x2⇒x2=a2-

a2b2

c2

，（3分）
又0≤x²≤a²∴0＜2-

1

e2

≤1⇒

2

2

≤e≤1，（4分）
∵0＜e＜1，∴

2

2

≤e＜1（5分）
（2）①当e=

2

2

时得椭圆为

x2

2b2

+

y2

b2

=1
设H（x，y）是椭圆上一点，
则|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b）
（6分）
设0＜b＜3，则-3＜-b＜0，当y=-b时，|HN|_max²=b²+6b+9，，由题意得b²+6b+9=50
∴b=-3±5

2

，与0＜b＜3矛盾，（7分）
设b≥3得-b≤-3，当y=-3时，|HN|_max²=2b²+18，，由2b²+18=50得b²=16，（合题薏）
∴椭圆方程是：

x2

32

+

y2

16

=1（8分）
②．设l：y=kx+m由

x2 32 + y2 16 =1 y=kx+m

⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0
而△＞0⇒m²＜32k²+16（9分）
又A、B两点关于过点P(0，-

3

3

)、Q的直线对称
∴kPQ=-

1

k

，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则xQ=-

2km

1+2k2

，yQ=

m

1+2k2

（10分）
∴

yQ+ 3 3

xQ

=-

1

k

⇒m=

1+2k2

3

（11分）
∴(

1+2k2

3

)2＜32k2+16⇒0＜k2＜

47

2

（10分）
又k≠0，∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

（11分）
∴需求的k的取值范围是-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

（12分）