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题目
题型:不详难度:来源:
椭圆G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足


F1M


F2M
=0

(1)求离心率的取值范围;
(2)当离心率e取得最小值时,点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5


2

①求此时椭圆G的方程;
②设斜率为k(k≠0)的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、B,Q为AB的中点,问A、B两点能否关于过点P(0,-


3
3
)
、Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明理由.
答案
(1)设M(x,y),则


F1M
=(x+c,y),


F2M
=(x-c,y)



F1M


F2M
=0⇒x2+y2=c2y2=c2-x2
(1分)
又M在椭圆上,∴y2=b2-
b2
a2
x2
(2分)
c2-x2=b2-
b2
a2
x2x2=a2-
a2b2
c2
,(3分)
又0≤x2≤a20<2-
1
e2
≤1⇒


2
2
≤e≤1
,(4分)
∵0<e<1,∴


2
2
≤e<1
(5分)
(2)①当e=


2
2
时得椭圆为
x2
2b2
+
y2
b2
=1

设H(x,y)是椭圆上一点,
则|HN|2=x2+(y-3)2=(2b2-2y2)+(y-3)2=-(y+3)2+2b2+18,(-b≤y≤b)
(6分)
设0<b<3,则-3<-b<0,当y=-b时,|HN|max2=b2+6b+9,,由题意得b2+6b+9=50
b=-3±5


2
,与0<b<3矛盾,(7分)
设b≥3得-b≤-3,当y=-3时,|HN|max2=2b2+18,,由2b2+18=50得b2=16,(合题薏)
∴椭圆方程是:
x2
32
+
y2
16
=1
(8分)
②.设l:y=kx+m由





x2
32
+
y2
16
=1
y=kx+m
⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-32=0

而△>0⇒m2<32k2+16(9分)
又A、B两点关于过点P(0,-


3
3
)
、Q的直线对称
kPQ=-
1
k
,设A(x1,y1),B(x2,y2),则xQ=-
2km
1+2k2
yQ=
m
1+2k2
(10分)
yQ+


3
3
xQ
=-
1
k
⇒m=
1+2k2


3
(11分)
(
1+2k2


3
)2<32k2+16⇒0<k2
47
2
(10分)
又k≠0,∴-


94
2
<k<0
0<k<


94
2
(11分)
∴需求的k的取值范围是-


94
2
<k<0
0<k<


94
2
(12分)
核心考点
试题【椭圆G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F1M•F2M=0.(1)求离心率的取值范围;】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,已知F1、F2是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则


PF1


PF2
=______;椭圆C的离心率为______.
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已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足


PA


PB
=x2-6
,则点P的轨迹为(  )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
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三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,∠CAD=60°,则


AB


CD
=(  )
A.-2B.2C.-2


3
D.2


3
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在△ABC中,已知|


AB
|=|


AC
|=2,且


AB


AC
=3,则BC边长为______.
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已知向量


QA
=(-1,2,5),


QB
=(4,7,m),若


QA


AB
,则m=______.
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