题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知F₁、F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q为线段PF₂的中点，则

PF1

•

PF2

=______；椭圆C的离心率为______．

答案

连接OQ，F₁P如下图所示：
则由切线的性质，则OQ⊥PF₂，
又由点Q为线段PF₂的中点，O为F₁F₂的中点
∴OQ∥F₁P
∴PF₂⊥PF₁，
∴

PF1

•

PF2

=0
故|PF₂|=2a-2b，
且|PF₁|=2b，|F₁F₂|=2c，
则|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²
得4c²=4b²+4（a²-2ab+b²）
解得：b=

2

3

a
则c=

5

3

a
故椭圆的离心率为：

5

3

故答案为：0，

5

3

．