动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N. (1)求曲线C的方程; (2)求证:直线MN必过定点. |
(1)∵动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切, ∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离, ∴点P的轨迹为抛物线,曲线C的方程为y2=4x; (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0 ∴x1+x2= ∴xM=,∴yM=k(xM-1)= ∴M(,) ∵AB⊥CD,∴将M坐标中的k换成-,可得N(2k2+1,-2k) ∴直线MN的方程为y+2k=(x-2k2-1) 整理得(1-k2)y=k(x-3) ∴不论k为何值,直线MN必过定点T(3,0). |
核心考点
试题【动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.(1)求曲线C的方程】;主要考察你对
求轨迹方程等知识点的理解。
[详细]
举一反三
设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是______. |
如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191026/20191026072403-32670.png) |
设A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,并且||=,动点P满足=+.记动点P的轨迹为C. (I) 求轨迹C的方程; (Ⅱ)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且=λ,求实数λ的取值范围. |
已知|PM|-|PN|=2,M(-2,0),N(2,0),求点P的轨迹W. |
直角坐标平面xoy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足•=4,则点P的轨迹方程是 ______. |