当前位置:高中试题 > 数学试题 > 求轨迹方程 > 如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17...
题目
题型:不详难度:来源:
如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=


17
,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.魔方格
答案

魔方格
法一:如图建立坐标系,
以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.
依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A,B分别为C的端点.
设曲线段C的方程为
y2=2px(p>0),(xA≤x≤xB,y>0),
其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p=|MN|.
所以M(-
p
2
,0),N(
p
2
,0).
由|AM|=


17
,|AN|=3得
(xA+
p
2
2+2pxA=17,①
(xA-
p
2
2+2pxA=9.②
由①,②两式联立解得xA=
4
p
.再将其代入①式并由p>0解得





p=4
xA=1





p=2
xA=2.

因为△AMN是锐角三角形,所以
p
2
>xA,故舍去





p=2
xA=2

所以p=4,xA=1.
由点B在曲线段C上,得xB=|BN|-
p
2
=4.
综上得曲线段C的方程为
y2=8x(1≤x≤4,y>0).

解法二:如图建立坐标系,

魔方格
分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点.
作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别为E、D、F.
设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0).
依题意有
xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,
yA=|DM|=


|AM|2-|DA|2
=2


2

由于△AMN为锐角三角形,故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+


|AN|2-|AE|2
=4
xB=|BF|=|BN|=6.
设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合
{(x,y)|(x-xN2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.
故曲线段C的方程为y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).
核心考点
试题【如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
设A,B分别是直线y=
2


5
5
x
y=-
2


5
5
x
上的两个动点,并且|


AB
|=


20
,动点P满足


OP
=


OA
+


OB
.记动点P的轨迹为C.
(I) 求轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且


DM


DN
,求实数λ的取值范围.
题型:淄博一模难度:| 查看答案
已知|PM|-|PN|=2


2
,M(-2,0),N(2,0),求点P的轨迹W.
题型:不详难度:| 查看答案
直角坐标平面xoy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足


OP


OA
=4
,则点P的轨迹方程是 ______.
题型:上海难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹的方程;
(2)记Q的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求证:直线MN必过定点R(3,0).
题型:韶关三模难度:| 查看答案
设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线y2=x有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l与m的交点P的轨迹.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.