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题目
题型:不详难度:来源:
如图,P是抛物线C:y=
1
2
x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
答案
(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.
由y=
1
2
x2,①
得y"=x.
∴过点P的切线的斜率k=x1
∴直线l的斜率kl=-
1
k
=-
1
x1

∴直线l的方程为y-
1
2
x12=-
1
x1
(x-x1),②
联立①②消去y,得x2+
2
x1
x-x12-2=0.
∵M是PQ的中点
∴x0=
x1+x2
2
=-
1
x1
,y0=
1
2
x12-
1
x1
(x0-x1
消去x1,得y0=x02+
1
2
x20
+1(x0≠0),
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+
1
2
x20
+1(x≠0).

(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).
分别过P、Q作PP"⊥x轴,QQ"⊥y轴,垂足分别为P"、Q",则
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=
|OT|
|P′P|
+
|OT|
|Q′Q|
=
|b|
|y1|
+
|b|
|y2|

由y=
1
2
x2,y=kx+b消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0.③
则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)≥2|b|


1
y1y2
=2|b|


1
b2
=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正数,
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围是(2,+∞).
核心考点
试题【如图,P是抛物线C:y=12x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l不过原】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=
4
5
|PD|
(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率
4
5
的直线被C所截线段的长度.
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设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程(  )
A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.y2=2xD.y2=-2x
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平面直角坐标系中,已知A(-2,0),B(2,0),C(1,0),P是x轴上任意一点,平面上点M满足:


PM


PB


CM


CB
对任意P恒成立,则点M的轨迹方程为______.
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若一动点M与定直线l:x=
16
5
及定点A(5,0)的距离比是4:5.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设所求轨迹C上有点P与两定点A和B(-5,0)的连线互相垂直,求|PA|•|PB|的值.
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点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=
9
5
的距离的比是常数
5
3
,求点M的轨迹.
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