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题目
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直线可能和双曲线有三个交点吗?
答案
不能
设双曲线方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1
,直线方程y=kx+m
联立方程





y=kx+m
x2
a2
-
y2
b2
=1
可得(b2-k2a2)x2-2kma2x-a2(b2+m2)=0(*)
(i)当b2-k2a2=0时,方程(*)只有一个根,即直线与双曲线只有一个交点
(ii)当b2-k2a2≠0,方程(*)最多有2个解,即直线与双曲线最多有2个交点
故直线与双曲线不能有3个交点
核心考点
试题【直线可能和双曲线有三个交点吗?】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知过点P(3,2)的直线交椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
于A、B两点,若AB中点恰好是点P.求直线AB的方程.
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将抛物线C:x2=-4y上每一点的横坐标变为原来的
1
2
,纵坐标变为原来的3倍,得到曲线M.
(1)求曲线M的方程;
(2)直线l过点(3,0),若曲线C上存在两点关于直线l对称,求直线l的斜率的取值范围.
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无论a取什么实数,方程x2+2y2-ax+ay-a-1=0表示的椭圆都和一条定直线相交,且截得的弦长为定值,则这个定值是______.
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已知双曲线C与椭圆9x2+25y2=225有相同的焦点,且离心率e=2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若P为双曲线右支上一点,F1、F2为其焦点,且PF1⊥PF2,求△PF1F2的面积.
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已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
3
=1(a>


3
)
的离心率e=
1
2
.直线x=t(t>0)与曲线E交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆C,圆心为C.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,B,且△ABC的面积为


5
2
,求圆C的标准方程.
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