已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：浙江模拟难度：来源：

已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y²=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=______．

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F（

，0）
联立方程

y=2x-1

y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0
∴x1+x2=

p+2

，y₁+y₂=2（x₁+x₂）-2=p
由三角形的重心坐标公式可得，

x1+x2+x3

y1+y2+y3

∴

x3= p-1

y3=-p

，代入抛物线的方程可得（-p）²=2p（p-1）
∴p=2
故答案为：2

核心考点

试题【已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y2=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=______．】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知点A（0，2）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线与点B，过B做l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p=______．

题型：江苏二模难度：| 查看答案

已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

题型：不详难度：| 查看答案

若双曲线

=1的右焦点与抛物线y²=12x的焦点重合，则该双曲线的离心率是（　　）

A．

B．

C．2

D．

题型：不详难度：| 查看答案

已知曲线C1：

x=5+t

y=2t

（t为参数），C2：

x=2

cosθ

y=3sinθ

（θ为参数），点P，Q分别在曲线C₁和C₂上，求线段|PQ|长度的最小值．

题型：不详难度：| 查看答案

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-4

y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，

)在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为

直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．

题型：不详难度：| 查看答案

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