题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2=-4

2

y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，

2

)在该椭圆上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若斜率为

2

直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC面积的最大值时，求直线l的方程．

答案

（1）由已知抛物线的焦点为（0，-

2

），故设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
将点A（1，

2

），代入方程得

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，，得a²=4或a²=1（舍）（4分）
故所求椭圆方程为

y2

4

+

x2

2

=1（5分）
（2）设直线BC的方程为y=

2

x+m，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入椭圆方程并化简得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0可得m²＜8，①
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 - 16-2m 2

2

．
又点A到BC的距离为d=

|m|

3

故SABC=

1

2

×|BC|×d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

×

2m2+16-2m2

2

=

2

当且仅当2m²=16-2m²，即m=±2时取等号（满足①式），S取得最大值

2

．
此时求直线l的方程为y=

2

x±2．