题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于 原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：

FA

+

FB

=

FR

，求点R的轨迹方程．

答案

（1）由OA丄OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0
∵y12=4x1，y22=4x2，∴16x1x2=(y1y2)2
代入上式得16y1y2+(y1y2)2=0
∵y₁y₂≠0，∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=16；
（2）设T（t，0），当x₁≠x₂时，A，B，T三点共线，∴

y1

x1-t

=

y2

x2-t

∴（y₂-y₁）t=y₂x₁-y₁x₂=-4（y₁-y₂）
∵y₁≠y₂，∴t=4
当x₁=x₂时，∵OA⊥OB，此时△AOB为等腰直角三角形，x₁=x₂=t，直线OA的方程式为y=x
与抛物线联立，解得t=x₁=4
∴T的坐标是（4，0）；
（3）设R（x，y），由F（1，0），

FA

+

FB

=

FR

，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y）
即

x1+x2=x+1 y1+y2=y

∵y12=4x1，y22=4x2，∴两式相减可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
当x₁≠x₂时，y•

y1-y2

x1-x2

=4
∵AB的中点M（

x+1

2

，

y

2

），点T（4，0）都在直线AB上，
∴k_AB=k_TM，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 -4

代入上式得y•

y 2

x+1 2 -4

=4
化简可得y²=4x-28
当x₁=x₂时，点R（7，0）符合上式
综上可知点R的轨迹方程是y²=4x-28．