题目
题型:不详难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1.平面上有点P满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1,l2,它们分别与圆M,N相交,且直线l1被圆M截得的弦长与直线l2被圆N截得的弦长的比为
3 |
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答案
∴双曲线C2的焦点为F1(-2,0)、F2(2,0),(1分)
设A(x0,y0)在抛物线C1:y2=8x上,且|AF2|=5,
由抛物线的定义得,x0+2=5,∴x0=3,(2分)
∴y02=8×3,∴y0=±2
6 |
∴|AF1|=
(3+2)2+(±2
|
又∵点A在双曲线上,
由双曲线定义得,2a=|7-5|=2,∴a=1,(5分)
∴双曲线的方程为:x2-
y2 |
3 |
(Ⅱ)设圆M的方程为:(x+2)2+y2=r2,
双曲线的渐近线方程为:y=±
3 |
∵圆M与渐近线y=±
3 |
圆M的半径为d=
2
| ||
2 |
3 |
故圆M:(x+2)2+y2=3,(8分)
设点P(x0,y0),则l1的方程为y-y0=k(x-x0),
即kx-y-kx0+y0=0,l2的方程为y-y0=-
1 |
k |
即x+ky-x0-ky0=0,
∴点M到直线l1的距离为d1=
|2k+kx0-y0| | ||
|
点N到直线l2的距离为d2=
|x0+ky0-2| | ||
|
∴直线l1被圆M截得的弦长s=2
3-(
|
直线l2被圆N截得的弦长t=2
1-(
|
由题意可得,
s |
t |
| ||||
|
3 |
即3(x0+ky0-2)2=(2k+kx0-y0)2,
∴
3 |
3k |
3 |
或
3 |
3k |
3 |
由①得:(x0-
3 |
3 |
3 |
∵该方程有无穷多组解,
∴
|
|
点P的坐标为(1,
3 |
由②得:(x0+
3 |
3 |
3 |
∵该方程有无穷多组解,
∴
|
|
点P的坐标为(1,-
3 |
∴满足条件的点P的坐标为(1,
3 |
3 |
核心考点
试题【如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.(Ⅰ)】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
OA |
OB |
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点,求四边形MPNQ面积的最小值.
2 |
2 |
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B.求证:直线AB的斜率为定值.
x2 |
4 |
y2 |
3 |
A.点P在椭圆C内 | B.点P在椭圆C上 |
C.点P在椭圆C外 | D.以上三种均有可能 |
1 |
2 |
(1)求p的值;
(2)是否存在定点Q,当直线l过点Q时,△PAM与△PBN的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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